Плоскость и прямая в пространстве

Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющее нормальный вектор , в декартовых координатах имеет вид:

или , (2.4)

где .

Уравнение (2.4) называют общим уравнением плоскости.

Если все коэффициенты уравнения (2.4) отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду

, (2.5)

где – величины отрезков, отсекаемых на коорди­натных осях. Уравнение (2.5) называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид

. (2.6)

Направляющим вектором прямойназывается вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Пусть – направляющий вектор прямой, точка принадлежит прямой. Тогда уравнения прямой вида

(2.7)

называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть даны две точки и , лежащие на прямой.

Уравнения вида

(2.8)

называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

. (2.9)

Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Требуется найти: а) длину ребра ; б) угол между ребрами и ; в) площадь грани ; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой ; е) уравнение плоскости ; ж) угол между ребром и гранью ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. а) Длину ребра определяем по формуле

,

где . В нашем случае . Тогда .

б) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и по формуле (2.1): . Имеем , находим .

Тогда

.

в) Площадь грани вычисляем как площадь треугольника, построенного на векторах , (формула (2.2)): . Имеем , ,

г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): .

Имеем .

Отсюда (ед3).

д) Уравнения прямой найдем по формуле (2.8):

или .

е) Уравнение плоскости определяем по формуле (2.6):

или .

Отсюда

,

ж) Угол между ребром и гранью находим как угол между прямой и плоскостью по формуле (2.9). В нашем случае . Тогда

.

з) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , определяем как уравнение прямой, проходящей через перпендикулярно плоскости . Уравнение плоскости : . Тогда имеем . По формуле (2.7) получаем .



Задание 3. Даны координаты , , , вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) пло­щадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) уравнение плоскости a, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины на грань и вершину пирамиды; 8) расстояние от вершины до плоскости a.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Понятие числовой последовательности и ее предела.

2. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

3. Замечательные пределы.

4. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

5. Понятие производной, ее геометрический смысл.

6. Производная суммы, произведения, частного.

7. Дифференциал и его геометрический смысл.

8. Производная функции, заданной неявно и параметрически.

9. Производные и дифференциалы высших порядков.

10. Возрастание и убывание графика функции. Экстремум.

11. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

12. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


0004513615030713.html
0004567735733635.html
    PR.RU™